Максим народився 13 квітня 1988 року у Бердянську Запорізької області. Навчався у школі №6. 

«Син був доброю, щирою, веселою та товариською дитиною. Допомагав друзям, яких було завжди дуже багато, підтримував їх у складних ситуаціях. Дуже сильно любив велоспорт. Сам обрав це за хобі. Мав багато спорядження, долав великі відстані. Навіть їздив з Маріуполя до Бердянська у відпустку на велосипеді. Загалом об’їздив всю Донецьку область», – розповіла мама Тетяна Юріївна. 

У 2009 році Максим закінчив Національний аерокосмічний університет «Харківський авіаційний інститут» за спеціальністю «Радіотехнологічні системи». Пізніше навчався у Головному центрі підготовки особового складу Державної прикордонної служби України імені генерал-майора Ігоря Момота на Черкащині. У 2010 році юнак долучився до лав 1-го Донецького прикордонного загону. Був оператором на вартівні спостереження. 

Початок повномасштабної війни Максим зустрів у Маріуполі. 12 квітня з металургійного заводу імені Ілліча прикордонник потрапив у полон. Оборонця утримували в одній із російських колоній. 

«Ми так чекали на його повернення, – сказала кума Марина. – Він був хрещеним батьком для трьох діток. Дуже любив з ними проводити час і навіть лишався декого няньчити на весь день. Максим був чуйним хрещеним батьком. Був відповідальним військовим. 

Штаб-сержант Максим Алексєєв загинув 24 січня 2024 року в Бєлгородській області. Він був на борту літака з іншими українськими військовополоненими, яких мали обміняти. Проте, повернутися додому не судилося – ІЛ-76 був збитий на російській території. Воїну назавжди 35 років.

Сотні днів очікування, десятки мітингів, акцій, стукання в усі двері… І ось у день обміну, я знала, що він має повернутися, але сталася страшна трагедія. Росія заявила, що всі загинули, і оприлюднила «список-65». Знову сотні днів надії та очікування, сльози, розчарування і врешті нескінченні експертизи, які принесли страшну звістку. 

Зараз я знаю, що ти мужньо переносив всі тортури та знущання полону, операцію без знеболення і наркозу, ти продовжував боротися! Вся наша сімʼя ніколи тебе не забуде, памʼять про тебе житиме з нами та буде передаватися далі, щоб жити вічно!».

Чин похорону воїна відбувся 29 липня 2025 року у Львові, у Гарнізонному храмі святих апостолів Петра і Павла. Опісля була загальноміська церемонія прощання на площі Ринок. Поховали Максима Алексєєва на Личаківському кладовищі, на полі Почесних поховань новітніх Героїв. 

У оборонця залишилися батьки, похресники, куми, побратими та друзі.